原文信息：Cai Z, Heathcote J. College tuition and income inequality[J]. American Economic Review, 2022, 112(1): 81-121.

01

引言

几十年来，美国大学的学费的平均成本一直比一般通货膨胀的增长快得多，支付大学费用已成为有孩子的家庭的主要担忧，不断上涨的学费可能会使低收入家庭的高能力儿童无法接受大学教育。据此，本文评估并验证了收入不平等加剧是学费上涨的关键驱动力这一假设。本文提出的模型遵循现有文献的一致认知，即教学支出与学生的平均能力是大学教育质量的决定因素。

现有大量文献对大学市场进行建模时，大学的数量很少，但每个大学规模都很大时，通常会出现均衡问题。学者们因此被迫关注近似均衡，但模型相当复杂，也不易处理。其次，如果只有少数竞争的大学，则竞争的模式是寡头垄断，但本文的模型中，大学都是小规模的，因此我们的假设是大学为价格接受者。另外，一组论文指出不断增加的财政支持是推高学费的最主要原因，收入不平等的加剧在推高大学成本方面发挥了供给方的作用。本文探讨了供应方成本上升的问题，发现他们在解释学费趋势方面相对于需求方的变化很小。

本文提出的模型与其他“club good”模型一样，竞争均衡由于俱乐部成员（学生）既是消费者又是生产投入而变得复杂。鉴于这种复杂性，本文的主要理论贡献在于允许大学质量连续分布。大学质量连续分布的优势在于不仅可以将大学的均衡模型分布与美国数据进行比较，而且当改变收入不平等或其他大学需求驱动因素时，大学质量连续分布也可以平稳变化。此外，连续质量分布在建模上也具有理论优势。由于大学质量连续分布，因此也具有连续的市场出清条件和价格，但仍然是容易处理的。

建模

02

如果家庭决定送孩子上大学，那么q＞0，家庭支付固定成本w，也就是孩子上大学而不是工作所放弃的家庭收入。

为了需求利润最大化，假设一所大学决定提供质量水平为q的大学教育，那么在质量水平为q的条件下，大学需要满足的式子为：

（1）均衡特征

在有多种能力类型的情况下，市场出清要求为每种能力求解单独的学费表，即大学市场对每种质量—能力组合都是清零的。作者论证了以下三个命题：

命题1：此模型的任何均衡都可以由一个学费计划表来表示：t(q,ai)=b(q)-d(q)(ai-a1)。其中b(q)质量相关常数，定义了向最低能力类型收取的基准学费；d(q)为每单位能力的学费折扣。因此，大学问题可以改写为：

即增加一单位平均能力所需支付的费用与增加一单位教学支出所需支付的费用的比率等于边际产品比率（即一单位教学支出产生的能力）。这样，我们可以简化大学市场出清条件，通过以下式子来表示：

第一个等式表示的条件为数量方面，即任何质量集Q中大学的学生数量的测算与学生的入学量一致；第一个等式表示的条件为质量方面，即在质量集Q中大学所要求的学生平均能力等同于选择进入大学的学生的平均能力。

模型中的均衡学费表还具有以下几个特征：第一，对于任何具有大学名额的学校，必须是严格的高质量带来高学费；第二，学费必须随着学生能力水平的上升而下降；第三，均衡学费必须独立于家庭收入。

在我们的模型中，在学生能力一定的条件下，家庭对质量的最佳选择是随着收入的增加而增加。当保留效用为正的情况下，边际效用是有限度的，因此拥有最低能力的学生和收入足够低的大学将不愿意选择上大学。

（2）帕累托效率

命题2：模型的竞争是帕累托有效的

如果这个模型中存在着以同群效应为形式的外部性，那么竞争均衡是没有效率的，与这种直觉相反，我们模型的竞争均衡实际上是帕累托有效的。在我们的模型中，一个关键的假设是：club（大学）是有竞争性的价格接受者；另一个关键的假设为家庭直接关心大学质量，并且仅从自己子女的大学质量中获得效用，因此大学是一种纯消费品。这意味着同群效应在大学内部是一种“局部性”外部性，并且在竞争市场中被正确地定价：高能力学生付出更低的学费。

03

一个封闭的例子

下文我们所举的例子能够清楚地说明大学市场的club物品性质对大学定价、收入不平等变化对学生如何分配到大学以及学生支付学费的影响有重要的价值。

命题3：在上述参数化下，该模型具有唯一的竞争均衡，其中通过质量和学费计划对大学名额的测量分别描述为：

在我们的“club good”模型中，家庭只能选择一种质量的大学，如果家庭选择把孩子的能力“卖给”大学，他们也必须“买”大学学生的平均能力。而在传统的线性模型中一个贫穷但能力强的家庭可以把孩子的能力“卖”给一个平均能力高的学校而从平均能力低的学校“买”较差的教育。在线性模型中，能力有一个固定价格p那么学费可以定义为购买的能力-出售的能力，则tLP(q,ai)=pq-pai，其中LP表示线性定价。

04

定量应用

（1）校准

（2）模型预测

图5绘制了按能力划分的均衡学费表（面板A：高能力学生学费表，面板B：低能力学生学费表，面板C：高能力学生单位质量学费表，面板D：低能力学生单位质量学费表）。学费以非线性的方式随着质量而增加，并且在单位质量的学费上的质量也有所提高。而在所有质量水平上，能力强的学生支付的费用都低于能力弱的学生——因为他们作为提高质量的投入，因此他们能获得“择优”的财政援助。

图6绘制了学校投入（面板A：按高校质量划分的生均经费，面板B：大学学生的成绩分数，面板C：不同质量大学每单位能力d（q）的学费折扣，面板D：每单位质量的学费在大学质量方面增加）。高质量的学校在每个学生身上花费更多，而且通常也会录取平均能力更高的学生；随着质量的提高，能力投入的有效价格上升，促使大学提高开支与学生的平均能力；因此图4也解释了图5，即为什么每单位质量的学费在单位质量上增加。

图7描述了家庭收入分布不同百分位的学生的大学成绩，其中蓝线表示高能力学生，红线表示低能力。可以看到，低于50.4百分位的高能力学生不上大学；通过收入分配的上升，学生会选择进入更高质量的大学；在家庭对私立学校和公立学校选择无差别的收入分配点上，质量分配规则发生了跳跃（与x(q)的分布的缺口相对应），选择最差公立学校的家庭的质量分配规则出现了平点；能力较低的学生在98.9百分位数以上的家庭就读于高质量的私立大学，支付高额费用。

表3将校准模型的一些矩与2016年的数据进行了比较。其中平均毕业率和学费来自于表1，其余参数来自于大学计分卡（美国提供的一种工具，来促进大学之间的比较）。我们假设学生的分数是正态分布的，有特定大学的平均值和变异值。此外，将大学里分数高于全国考试分数前一半的学生定义为高能力的学生。可以看到模型和数据中的平均补贴学费金额是相似的；在家庭收入方面，模型暗示了上公立大学的学生的平均家庭收入的现实值，私立大学学生的家庭收入比数据中的高；在公立大学的模型和数据中，高能力学生比例相似，但模型在私立学校提高的高能力学生比例太小，这种差异反映了低质量私立大学的存在；模型中各学校的平均收入差距相对于数据而言较大大，这反映了在能力一定的条件下，收入和大学质量之间的关系是单调的。

图8绘制了公立大学的学费和费用的模型和数据的分布。总体而言，分布看起来大致相似，但仍存在一些差异。主要体现质量分布的顶部，即在模型中，有一些非常富有的家庭愿意为高质量大学支付高昂的学费。总的来说，我们相对简单的校准模型成功地复制了美国大学市场的一些重要特征：有多少学生，学生的平均收入和能力，以及观察到的各大学在学费和其消费者（家庭）的收入和能力方面的差异。

理解高校学费的变化

05

表4报告了不平等的变化如何改变模型的一些关键预测。为了隔离不断变化的收入差距的影响，我们重新调整了平均参数，使得家庭平均收入在这两年是相同的。可以发现，在这一时期观察到的收入不平等的变化预示着毕业率和净学费的巨大变化。该模型预测，在其他条件不变的条件下，收入不平等的加剧使毕业率降低了17.7%，净学费增加了71.8%。这一增幅大于在此期间观察到的平均净学费的实际增幅，表明收入不平等可能是导致学费上涨的关键因素。

图10显示了均衡质量分布、均衡能力-质量组和以及均衡学费表的变化。收入不平等的加剧使得公立和低质量私立学校均衡名额减少，但同时增加了高质量私立学校的名额。大学中高能力学生的比例下降，表明大学更多地依赖于教学支出，而不是同伴效应来保持质量。高能力学生的总比例没有变化，反映出许多大学会向更高质量的大学转变。

人们可能会怀疑，收入不平等的加剧会导致上大学更多由收入驱动，而不是能力驱动，不平等的急剧会降低大学生的平均能力。但均衡状态下，这种情况不会发生，因为不平等的加剧也增加了对高能力学生的需求。在其他条件不变的情况下，寻求满足增加的质量需求的大学会希望同时增加支出和提高学生平均能力。一个原因是同伴效应的存在：支出只是提高质量的一种投入，但另一种投入（平均同伴效应）并不会因为收入不平等的加剧而改变；另一个原因在于平均质量的提高会很小，因为支出的增加集中在质量分布最高的大学，那里的支出已经很高，因此额外支出的边际产出很低。我们的结论是：为了正确量化与收入不平等的增加相关的大学平均质量的提高，以及正确衡量质量调整后的学费的增加，那么既要建立同伴效应的模型也要允许大学质量的异质性存在。

从表中我们可以看到，1990年的估计补贴小于2016年（特别是对于私立学校来说）。在模型中，复制公立和私立学校之间的相对毕业率和学费就需要对学费和质量有更严格的限制，较低的学费上限T和较高的质量门槛Q通过迫使公立学校在一个相对狭窄的质量范围内运作，缩小了公立学校的市场份额。

我们还引入了一个随时间变化的模型，即可变教学投入e的价格p，变化的p允许我们评估教师工作上涨是否在解释学费上涨方面发挥了重要作用。我们估计，在1990年-2016年期间，这一价格真实地上涨了9.4%。表6显示了将各种参数子集更改为1990年的值，并将其他参数保持在2016年的值的影响。从第七行可以看出当所有参数同时改变时，模型观察到的毕业率和净学费值。

第1行我们排除了收入不平等加剧的影响；第2行我们改变了家庭平均期望收入，发现此举提高了家庭支付大学学费的意愿，并推高了毕业率（8.2%）和净学费（17.8%）；第3行我们分离偏好参数变化的影响，发现学费的增加意味着更愿意为高质量大学支付费用，因此平均净学费大幅增加74.1%，以及由于保留效用参数k增加了，毕业率只上升了3.9%；第4行我们将补贴（扣除固定成本）减少到1990年的水平，发现更低的补贴意味着更高的学费和更低的毕业率且1990年私立学校的非学费收入要少得多。随着时间推移，非学费收入的增长是大学入学的重要因素，并抑制了学费的增长；第5行我们隔离了学费上限和质量界限估计变化的影响，发现这些变化对入学率和平均净学费的影响微不足道；第6行我们将教学成本降低到1990估计值的影响，发现净学费降低不到200美元，而入学率上升1%。此外，降低生产质量的成本会导致家庭提高他们选择大学的质量，但并不会大程度改变他们的投入大学的收入比例。总的来说，这些实验突出了在我们的模型中观察到的大学学费增长的关键驱动因素，其中收入不平等的加剧和对大学的更强烈的偏好是最重要的因素。另一个重要的结论是不断增加的非学费收入相反会限制学费的增长。

（3）学费的变化与质量的变化

表7总结了当所有参数同时变化的时候，平均净学费、质量、能力和教学支出的变化（即表6最后一行的展开）。与只改变收入不平等的实验一样，平均大学质量的提高远小于平均净学费或平均教学支出的增加。

（4）上大学对象的变化

我们在1990至2016年期间发现毕业率的增量与Belley和Lochner（2017）相同。额外的低能力学生主要来自于收入分配的前一半，这类学生的入学率从29.7%上升到了54.7%。此外，收入分配最低的一半的低能力学生，入学率从24.9%上升到30.8%。总之，模型和数据都是一致的，即收入已经成为更多的大学入学率相对于学生能力更重要的推动力。

（5）大学是消费还是投资

我们以另一种解释描述我们的模型，即大学具有投资成分——除了上大学的直接消费价值外，父母还关心孩子未来的收入，而更高质量的大学会转化为未来孩子更高的收入。我们建立家庭效用函数：

结论

06

本文开发了一个大学市场的竞争模型，在这个模型中大学质量取决于在校学生的平均能力。该模型的一个新特点是大学质量的连续分布。我们通过模型预测自1990年以来收入不平等加剧的影响时发现，收入不平等程度的扩大可以解释大学平均学费增加,更慷慨的大学补贴和更强烈的对质量的偏好会促使更多学生进入大学。但本文仍存在拓展的空间：第一，对大学关于学生能力的信息的异质性进行建模；另一个扩展是探索最佳大学补贴，将补贴与学生的属性（收入或能力）或学生进入的大学的质量挂钩，或与两者都挂钩。

Abstract 

This paper evaluates the role of rising income inequality in explaining observed growth in college tuition. We develop a competitive model of the college market, in which college quality depends on instructional expenditure and the average ability of admitted students. An innovative feature of our model is that it allows for a continuous distribution of college quality. We find that observed increases in US income inequality can explain more than half of the observed rise in average net tuition since 1990 and that rising income inequality has also depressed college attendance.

作者：肖斯怡，陕西师范大学教育实验经济研究所实验经济学专业硕士研究生，研究方向：实验经济学，电子邮箱：xiaosiyiceee@163.com

声明：推文仅代表文章原作者观点，以及推文作者的评论观点，并不代表香樟经济学术圈公众号平台的观点。