推文人 | 陈一飞 

文章来源：Chamberlain, Gary. "Asymptotic efficiency in estimation with conditional moment restrictions." Journal of Econometrics 34.3 (1987): 305-334.

 

加里•张伯伦Gary Chamberlain教授逝世于2020年2月27日。他退休前在哈佛大学担任路易斯•伯克曼经济学教授，是计量经济学会会士，美国艺术与科学院院士，美国国家科学院院士。本文介绍的是加里•张伯伦教授的诸多研究贡献之一——半参数估计有效性方面的贡献。

图片来源：哈佛大学官网

 

背景介绍

 

为了估计一个分布函数（distribution function），我们通常需要首先假设该分布属于某个由有限维向量所参数化的分布函数类，再来估计那个未知的参数向量。一般来说，模型估计最常用的方法是极大似然（maximum likelihood，ML）。ML假设模型的扰动项来自于多元正态分布，然后求解使得模型的极大似然函数最大的一组参数作为极大似然估计量。因此，ML通常被认为是一种全参数（fully parametric）的估计方法。从模型的参数化程度来说，另一个极端是非参数（nonparametric）估计，比如说核密度估计（kernel density estimation）。非参数模型不对总体（随机变量）做出任何假设。介于全参数模型与非参数模型之间的是一类半参数模型（semi-parametric models）。半参数模型常常面对这样的假设——关于数据和参数向量的某给定函数在参数空间（parameter space）的某些点上的期望为零，而这些点正是我们想要估计的。例如，在资产定价模型中，投资者如果采用误差平方作为损失(squared error loss)进行理性预期，则他们的预测误差与信息集的元素是相互垂直（orthogonal）。我们称这一类假设为矩约束（moment restrictions）。张伯伦的文章试图推导出某一类半参数估计量的渐进方差的下界，以说明广义矩估计（generalized method of moments,GMM）的半参数有效性。

 

 

矩约束：多项式分布的例子

 

 

局部渐进最小最大界限性质

 

已有的文献显示，存在某些超有效估计量（superefficient estimators），在参数空间的特殊点上，它们的极限正态分布具有比极大似然估计量更小的渐进方差。可是，Le Cam(1953)显示超有效估计量在超有效点的邻域内表现不好。故信息矩阵只是提供了那些表现足够好的（sufficiently well-behaved）估计量的渐进方差下限。为了在更一般的框架下说明GMM估计量的渐进方差具有理想的性质，张伯伦从局部渐进最小最大准则（local asymptotic minimax criterion）的角度进行了论述。

 

 

 

扩展到条件约束

 

为了使结论更具有一般性，张伯伦放松了有限支撑这样一个不起实质作用的假设（本质上就是等价于分配给每个样本相同的权重），将无条件约束下GMM的有效性重新证明了一遍。与无条件约束相对应的，当我们面临的是有条件矩约束（conditional moment restrictions）时，类似的方法和结论也可以得到拓展。

 

推文作者简介：

 

陈一飞，上海财经大学经济学院数量经济方向博士研究生。主要研究方向：空间计量，微观计量，金融资产定价。预计今年毕业，目前正在找工作。欢迎与我互动交流：444393790@qq.com。

 

Abstract

 

In this paper, bounds on asymptotic efficiency are derived for a class of non-parametric models. The data are independent and identically distributed according to some unknown distribution F. There is a given function of the data and a parameter. The restrictions are that a conditional expectation of this function is zero at some point in the parameter space; this point is to be estimated. If F is assumed to be a multinomial distribution with known (finite) support, then the problem becomes parametric and the bound can be obtained from the information matrix. This bound turns out to depend only upon certain conditional moments, and not upon the support of the distribution. Since a general F can be approximated by a multinomial distribution, the multinomial bound applies to the general case.