原文信息：Kleinman, Benny, Ernest Liu, and Stephen J. Redding. "Dynamic spatial general equilibrium." Econometrica 91.2 (2023): 385-424.

推文作者评论：

动态模型有时候已经很难搞了，空间模型也很难搞，难点主要在于跨期和跨空间的选择，不同主体之间的策略的相互关联，还有状态空间维数过高的问题。因此，很长时间以来，涉及空间的模型都是静态的，并且即便如此，要得出有意义的结论，提供更多洞见和直觉，已经很不容易。这篇文章便是集动态和空间模型之大成，除了常规的空间（贸易）模型的引力方程和动态模型的跨期选择，本文还集成了动态离散选择模型来捕捉空间上的交互。为了处理这样的复杂模型，本文主要运用全微分线性化、动态帽子法和谱分析三种技术，得到了含义清晰，表达简洁的结果，在处理技术上也可谓是集大成者。在这样的集大成下，作者对跨越数十年、数百万平方公里，沧海桑田的变换提供了富有洞见的分析。

01

简介

经济学中的一个核心研究问题，是理解经济活动的空间分布对于基本面冲击，比如生产力变化的响应。本文的基本面主要指每个地方独有的(idiosyncratic)生产率和便利设施两个外生的随机过程。一般来说，这种响应可能是逐渐的，这是由于移动(mobile)要素（劳动力）的迁徙摩擦，以及不动(immobile)要素（资本结构）的逐渐累积。然而，一个关键挑战是，在考虑人口流动性的经济地理模型中，对未来的资本投资进行建模。这种模型很复杂，因为每个地点的投资和移民决策不仅互相依存，而且还要依赖于未来所有时间段内，所有地点的相互作用，这迅速造成了在现实世界中状态空间过于庞大的问题。

我们做了两个主要的贡献。分别是建模方面和模型处理方面。

建模方面，我们开发了一个可行的框架，将前瞻性投资纳入一个动态离散选择移民模型，从而克服了高维状态空间的挑战。我们描述了稳态均衡，并且将现有的动态精确帽代数技术(dynamic exact-hat algebra techniques)推广到投资中。

具体而言，在模型上，我们在常规的贸易、迁移和资本积累设定的基础上进行建模，并做了一些简化假设。

贸易方面，采用Armington (1969) 提出的单部门模型，该模型设定了对商品贸易具有恒定弹性的引力方程(constant elasticity gravity equation for trade in goods)。

迁移方面，遵循Caliendo, Dvorkin and Parro (2019)，考虑一个关于迁移决策的动态离散选择模型(dynamic discrete choice model)上，该模型同样应用了对迁移具有恒定弹性的引力方程。

资本积累上，遵循宏观经济学教科书中的方法，代理人在受到跨时预算约束的前提下，选择消费和投资以最大化其跨时效用。

在我们的基本假设中，按照Moll (2014) 的做法，在工人和地主(landlord)之间进行区分。工人进行前瞻性的迁移选择，但无法接触到投资技术，因此生活在一种收入与支出相当的“月光”状态。地主在地理上是固定的，但可以进行当地资本的投资，比如建筑物和其他设施，并进行前瞻性的资本积累决策。我们阐明了这一简化假设如何使我们得以在不必处理过于复杂状态空间的情况下，将前瞻性投资融入模型中。

我们的框架允许存在许多不同的地点，它们在生产力和便利设施 (amenities)上有所不同，并且有丰富的双边贸易和迁移成本的地理分布。尽管如此，我们还是求出了稳态均衡存在和唯一性解析条件。我们展示了这些条件只依赖于结构参数，如聚集和分散力量(agglomeration and dispersion forces)，并且与初始条件无关。给定在向着未观察到的稳态的转移路径上，某个初始均衡点的内生变量的观测值，我们展示了如何使用动态精确帽代数技术，在任何未来基本面变化的序列下，求解经济体的转移路径。

模型处理方面，为简化模型，我们对其进行了线性化处理，以得到一个封闭解，这个解定义了经济体面对冲击时，如何从一个初始状态转移到另一个状态的路径。

这个路径由两个关键矩阵来决定：(1) 初始冲击矩阵，揭示了外部冲击的即刻影响，(2) 转移矩阵(transition matrix)，决定了状态变量随时间的演变。我们表明，对任何基本面冲击，经济体的动态响应可以使用转移矩阵的谱(spectral)特性——即其特征值和特征向量——来精确表述。此外，我们展示了如何利用这一点来解释，资本积累和人口流动动态，是如何在美国各州之间的收入趋同速度下降（即收入差距缩小速度放慢，收入差距更加固定、长期化），以及冲击的持久和异质效应中发挥核心作用的。

这两个矩阵仅取决于模型的结构参数，以及贸易和迁移份额，后者在数据中可以观察到。我们使用转移矩阵的特征分解，展示经济体的状态变量，对任何生产力和便利设施经验冲击(empirical shock)的动态反应。这种动态反应可以表达为，对特征冲击(eigen shock)的响应的线性组合，其中包括：(1) 对基本面的冲击，(2) 对资本和劳动状态变量的初始影响对应于转移矩阵的特征向量。

这些特征冲击有三个关键特性。首先，我们可以从观测到的数据中计算它们。其次，对于特征冲击，经济体对稳态的趋同速度仅取决于与此关联的转移矩阵的特征值，这使我们能够提供决定趋同速度的精确的解析描述。第三，我们可以通过将经验冲击在特征冲击上进行线性投影，来恢复对基本面冲击的任何加载(loading，可以认为是“实现”)，这让我们可以使用这一框架来理解经验冲击的影响。

我们将我们的框架应用到从1965年到2015年美国各州收入趋同的决定因素，以及本地冲击的持续和异质性影响。这两个问题都是经济学几个领域的核心问题。我们展示，美国各州收入趋同速度的下降在很大程度上是由初始条件驱动的，而不是基本面冲击模式的变化。

我们展示资本和劳动力动态对于捕捉这种趋同的下降都很重要，强调了将前瞻性投资纳入迁移动态模型中的相关性。我们将状态变量的初始差距，以及我们的样本周期内生产力和便利设施的经验变化，与整个特征元素谱关联起来。我们发现了缓慢和异质的趋同速度，平均半衰期大约是20年，最长可达80年。

我们发现，从稳态开始的劳动力和资本状态变量的差距，更多地加载在趋同速度慢的特征元素上，而随时间在生产力和便利设施上的变化，则更多地加载在趋同速度快的特征元素上。这两个特性结合，推动了我们的发现：初始条件在很大程度上解释了随时间收入趋同的下降。

我们使用谱分析展示，向稳态的趋同速度是由资本积累和迁移之间的强烈相互作用决定的。当资本和劳动力的差异在不同地区呈正相关时，向稳态的趋同是缓慢的，这样资本和劳动力就趋向于要么同时高于要么同时低于稳态。相反，当这些差异在不同地区呈现负相关时，趋向稳态的趋同是快速的，这样资本就倾向于在劳动力低于稳态时高于稳态，或者反之。原因在于两个要素在生产技术上的边际产品的互动。

当资本高于稳态时，这会对劳动力过剩的地区产生有利影响，吸引劳动力从而加速资本流向那些更需要劳动力的地区。同样，劳动力超过稳态时，会吸引资本流向那些资本相对不足的地区。我们的框架提供了一种分析这种要素互动的多地区封闭经济体和开放经济体的方法。我们尤其强调了状态变量间隔的初始条件如何通过它们在特征元素上的投影来影响趋向稳态的速度。

通过这种方式，我们为美国各州收入趋同的没落和收入分布差异持续存在提供了一个新角度。我们确定了资本和劳动力趋同的复杂性，及其对于理解地理和时空差异性方面的贡献。了解这些要素之间互动的长期动态，对于制定区域政策以及评估经济一体化效应具有重要意义。

总而言之，我们的模型框架及其对趋向稳态的封闭形式解决方案向我们提供了一个强有力的工具，用于研究和理解各地区在面对基本面冲击时的行为反应。我们通过分析和模拟美国各州的经济活动响应，演示了该框架在应用中的潜在实用价值和普适性。我们的分析确定了推动地区收入差异持续和动态演进的关键因素，为政策制定提供了洞察力，并为未来的经验性和理论性工作奠定了基础。我们期待着看到该框架在其他地区甚至全球尺度的应用，以及它如何能够帮助我们在更多维度上理解经济活动的空间差异。

02

动态空间模型

2.1 市场设定

2.2 一般均衡及其性质

直观上，我们使用初始可观测的内生变量和模型的均衡条件来控制不可观测的初始基本面水平。从这个命题出发，我们可以使用动态精确帽子代数方法来求解在基本面的没有任何进一步变化的情况下不可观测的初始稳态。我们也可以利用这一方法来解决经济活动空间分布转型路径的反事实问题，以应对未来基本面变化的假设序列。

03

谱分析

为了进一步理解资本和劳动力动态的作用，我们现在将模型线性化，使用谱分析提供经济转型路径的分析表征。在本节中，我们主要阐述对生产力和便利设施的冲击，但在下面的第4节中，我们的方法概括了对迁移和贸易成本的冲击。

在第3.1节中，我们对模型的一般均衡条件进行了全微分，推导出了一个线性化方程组，该方程组充分刻画了经济的一阶转型路径（transitional path）。我们在关于代理人期望的各种不同假设下，以封闭形式求解这个线性化系统。

利用转移矩阵的特征分解，我们证明了向稳态的收敛速度和沿着转型路径的状态变量的演化都可以只用转移矩阵的特征值和特征向量来表示。我们利用这一谱表示表明，向稳态的收敛速度是缓慢的和异质性的，并表明资本积累和迁移相互作用，塑造了本地冲击的持续性和异质性影响。

3.1 转型路径
 

剩下部分包括了一个两个地区的特例，拓展情况以及量化分析。关于谱分析部分以及数量部分的细节，感兴趣的读者可自行了解。

04

结论

经济学中的一个经典问题是经济活动对局部冲击的反应。总的来说，由于资本结构方面的投资和迁移摩擦，这种反应可能是渐进的。然而，建模这些动态的一个关键挑战是，代理人的前瞻性投资和迁移决策在所有未来时期的所有地点都相互依赖，这很快就会导致经验现实数量的地点的状态空间变得非常大。

我们有两个主要贡献。首先，我们开发了一个易于处理的框架，将前瞻性资本积累纳入一个动态离散选择迁移模型，以克服高维状态空间的这一挑战。我们刻画了稳态均衡的特征，并推广了现有的动态精确代数技术来考虑投资。其次，我们将模型线性化，利用谱分析对经济转型路径进行分析表征。我们根据捕捉冲击的初始影响的影响矩阵和管理状态变量更新的转移矩阵，为转移路径提供了一个封闭式的解决方案。我们证明了状态变量对任何冲击对基本面的动态响应可以用该转移矩阵的特征向量和特征值来表征。引入了特征冲击的概念，该特征冲击对状态变量的初始影响等于转移矩阵的特征向量。我们证明了特征冲击收敛到稳态的速度仅取决于相应的转移矩阵的特征值。我们证明，任何经验冲击都可以表示为这些特征冲击的线性组合，在这个线性组合中的权重，可以从经验冲击对特征冲击的回归中得到。

我们使用谱分析来强调资本积累和迁移动态之间的系统性相互作用。当来自稳态的劳动和资本状态变量的差距在不同地区之间呈正相关，资本和劳动力往往高于或低于稳态时，向稳态的收敛速度较慢。其原因在于生产技术中资本和劳动的边际产出之间的相互作用。当资本高于稳态时，劳动的边际生产率提高，从而抑制了劳动的向下调整，反之亦然。我们的研究表明，资本积累和移民动态之间的这种相互作用对于理解美国各州的收入趋同下降以及地方冲击的持续和异质性影响至关重要。

我们首先确定，所观察到的收入趋同的下降在很大程度上是由初始条件解释的，而不是由基本面冲击模式的变化解释的。接下来，我们展示了资本和劳动力动态都有助于收入趋同的下降，突出了将前瞻性投资纳入动态离散选择迁移模型的相关性。在此基础上，我们利用谱分析方法，将劳动力和资本状态变量从稳态和经验冲击到基本面的初始缺口进行分解。

研究发现，由于劳动力和资本的稳态缺口在不同地点之间存在正相关关系，初始稳态缺口更偏重于特征分量，且收敛速度较慢。相反，生产率和便利设施的经验冲击更多地加载了具有快速收敛的特征分量，因为这些生产率和便利设施冲击在不同地点之间呈负相关，从而导致劳动和资本稳态差距的变化呈负相关。

这两个特征共同推动了我们的研究，即初始条件在很大程度上解释了观测到的收入趋同随时间的下降。我们的研究表明，在经济转型的道路上，这些缓慢和快速移动的调整成分的重要性不断变化，可能会导致个别地点的状态变量的非单调动态。在密歇根州相对生产率下降15%的情况下，我们发现，邻近的州首先经历了人口流入，然后经历了人口流出，因此，它们在新的稳态下的人口份额最终可能低于初始稳态。总之，我们的发现突出了资本积累和迁移动态之间的丰富互动，以及来自谱分析的对具有多个动力来源的动力系统特性的见解。

Abstract 

We incorporate forward-looking capital accumulation into a dynamic discrete choice model of migration. We characterize the steady-state equilibrium; generalize existing dynamic exact-hat algebra techniques to incorporate investment; and linearize the model to provide an analytical characterization of the economy’s transition path using spectral analysis. We show that capital and labor dynamics interact to shape the economy’s speed of adjustment toward steady state. We implement our quantitative analysis using data on capital stocks, populations, and bilateral trade and migration flows for U.S. states from 1965–2015. We show that this interaction between capital and labor dynamics plays a central role in explaining the observed decline in the rate of income convergence across U.S. states and the persistent and heterogeneous impact of local shocks.

推文作者信息：韦忠吉，香港中文大学经济学系博士生，研究兴趣：宏观经济学，金融经济学，邮箱：weizj@link.cuhk.edu.hk

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