推文人 | 葛通 

时间序列模型，号称不以经济理论为依据，依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。请回忆高考时遇到的数列题，如果我们了解到数列的初始值和数列的递推机制（时间序列框架还需要求解随机项的取值分布），我们就可以声称我们已经掌握了可知的一切。

 

在这一切当中，趋势在时间序列研究中是一个重要的概念。当我们声称某个经济变量本身具有某种“趋势性质”，我们有义务解释这个趋势。如果亟待研究的被解释变量或许存在某种趋势，我们就有义务找变量来描述和控制这个趋势。还有一些消极的办法，比如干脆让趋势待在残差项里面，不要走动，我们去找White过来想想办法。通常认为有这么一类数据，只要把能去的趋势都去掉之后，余下部分就可以达到各种性质不随时间改变的至高境界。对于这种数据来说，只要把趋势搞明白，然后去掉，时间序列就会像高考的数列题一样简单。

 

不过，谁能为生活不变？鞅过程、随机游走、平滑转移、结构突变，一系列关于复杂趋势的理论纷至沓来。

 

什么是平稳？

 

严平稳和宽平稳的定义常见于各类时间序列教材，不做赘述，无非是一些“只同间隔有关，而与位置无关”的说法颠来倒去，递推机制存在、可知。

 

实际研究当中，挖掘小样本的数据特点，证明它的总体满足平稳性条件，并不容易。 读到过一篇未正式发表的论文(Davidson, J,2008)，为I(0)过程归纳了六个定义，凝结了人们对无趋势数据的些许认识。有的定义是十分抽象的，例如“不差分就达到短记忆的境界”“从不把随机冲击积累到后面的方差里”等；有的则具体到数学分布，只有某个函数渐进于标准布朗运动，才能说是I(0). 定义有很多，随之而来的检验方法也就同样很多。对六大定义感兴趣的同学，可以找来原文。

 

对于平稳的定义，还有一点需要补充。一般认为，过滤掉线性趋势、季节性因素后，表现出平稳特征的数据，可以看成某种广义的平稳。

 

甚至有学者认为，凭什么你线性趋势能打掉，S型趋势就不能打了？打掉非线性趋势和变结构现象，剩下的数据如果平稳，则这个序列，也被一部分人看成，某种广义的平稳。数据平稳的情形有很多种，不同的数据要用不同的程序来检验，这是一个庞大的话题。

 

趋势总是惹麻烦

 

Yule(1926)较早地指出，当解释变量和被解释变量都具有某种趋势（不妨设定成X有线性上升趋势，Y有线性下降趋势），对两者的回归将变得危险。两者的趋势是容易相关的，然而两个经济变量可能并不存在关联。如果显著不是因为存在规律才显著，就像心跳不是因为动情，情侣俩人只是碰巧一起坐摩天轮（或者蹦极）而已，那天的他们，就算心跳地再厉害，都不能成为爱情火花的证据。

 

Granger and Newbold (1974)利用机器模拟单位根过程，率先提出了现代意义上的伪回归。当解释变量和被解释变量都服从I(1)过程，那么对两者做回归将变得“有时危险”。若两个变量相关，则标识拟合效果的指标将分布在接受域以内；若两个变量无关，则多次重复实验之后，标示拟合效果的指标是时好时坏的。如果说所有无关变量有10%的概率可以回归出显著性的相关关系，那计量经济学也就再无可信性可言，谁知道你做的是不是那10%. Phillips (1986，1998)对上述结论做了数学证明，并持续研究了伪回归下的残差渐进分布特点。残差的渐进分布对大部分检验模型所用的指标来说，都相当重要。

 

随后，Granger等发展出协整模型。两个那么随机的变量，酩酊大醉的莽汉和小脑切除的瞎狗，如果碰巧一起散步了一个通宵，那十有八九是两者之间存在某种关联关系，某种惩罚偏离的负反馈机制，某根伸缩性能有限的胶皮狗链。

 

单位根还是变结构，这是个问题

 

大量学者执着于单位根检验的研究（Perron ,1989；Z&A 1992; Busetti & Harvey 2010;），试图识别序列身上的究竟是趋势还是记忆性，给出了不少巧妙的方法。在这里不妨反思，当我们问“一个序列究竟是具有A性质还是具有B性质”时，我们究竟在问什么？

 

有时我们以单位根过程为原假设来检验平稳性，有时我们以宽平稳为原假设来检验平稳性。单位根检验一方面为回归研究的可信性提供理论基础，另一方面描述了数据背后的经济指标本身的行为特征。例如一个服从单位根过程的股票指数，背后是“无从套利”的股票市场。一个大致平稳的工业品价格走势，背后是“供需均衡”的商品市场。

 

“单位根还是变结构”甚至被拿来讨论“凯恩斯还是哈耶克”：如果数据是非平稳的，冲击带来的影响重大而持续，那最好用凯恩斯来想办法冲回去；如果数据是变结构的，总能自己找到新的好的均衡点，而且新的均衡点总比你冲回来的好，还是哈耶克比较可靠。你们让计量学者来裁决哈耶克还是凯恩斯，大概是对计量学者有什么误解，单位根检验中的“低势窘境”一定要去了解一下。

 

随便一个单位根过程，对t, t^2, t^3三个解释变量做回归，通常会得到高次趋势项的显著参数；用t, t^2, t^3的函数构造一个时间序列，然后做单位根检验，时常也会接受非平稳这个原假设。

 

复杂趋势属于确定部分，单位根、长记忆等属于随机部分，在建模背景上，二者是水火不容的两个东西。然而，识别非平稳究竟是确定部分造成的还是随机部分造成的，这个问题，实在是太困难了。尤其当样本不大的时候，这项工作几乎是不可能完成的。一些重要的研究可见于左秀霞（2012）。可是，哪有那么多大样本来帮我们区分呢？

 

如果尝试了很多办法，都无法判断，究竟是A模型还是B模型，哪个更接近真相。我们或许只能无可选择的接受这样的事实，A模型和B模型，在描述数据的同一类型的特征，在用同一个素材讲同一个故事。用同样的事实和证据，分别去证明本质上不同的两件事，还都能自圆其说。因此，单位根过程有时也被成为随机性趋势，属于趋势的一种。

 

在这里，应当给计量经济学一个公允的评价。它就是一个研究描述性工具的学科，而不是社会科学的全能之神。 

 

总结

 

人生、社会或者国家，都可以看成时间序列。

 

一路走来，有昨天的AR项，有最近的MA项，这些因素极其短暂，但是它们对我们的幸福感至关重要。

 

然而，冥冥之中，一定是有记忆、有趋势的。它们是我们的负担，也是我们的组成部分。 关于趋势，我们的内心，也会产生不同的体验。

 

有时我们会感觉误打误撞，但算下来每一步都算数，所有的苦难都将被赋予某种意义；有时我们会感觉殊途同归，尽管绕了远路但幸好念念不忘必有回响，早知如此，不如当初就执着。No one understands the trend.

 

参考文献：

Yule, G.U. (1926) Why do we sometimes getnonsense-correlations between time series? A study in sampling and the natureof time series. Journal of the Royal Statistical Society 89, 1–69.

Granger, C.W.J. & P. Newbold (1974) Spuriousregressions in econometrics. Journal of Econometrics 74, 111–120.

Phillips, P.C.B. (1986) Understanding spuriousregressions in econometrics. Journal of Econometrics 33, 311–340.

Phillips, P.C.B. (1998) New tools for understandingspurious regressions. Econometrica 66, 1299– 1326.

Davidson, J. (2008). When is a time-series i(0)?. DiscussionPapers.

Perron, P. (1989). The great crash, the oil price shock,and the unit root hypothesis. Econometrica, 57(6), 1361-1401.

Zivot, E & Andrews.D. (1992). Further evidence on thegreat crash, the oil-price shock, and the unit-root hypothesis. Journal ofBusiness & Economic Statistics, 20(1), 25-44

Busetti, F., & Harvey, A. (2010). Testing for thepresence of a random walk in series with structural breaks. Journal of Time,22(2),127-150.

左秀霞. (2012). 单位根检验的理论及应用研究. (Doctoral dissertation, 华中科技大学).