推文人 | 余颖丰 

原文信息：Achdou, Y., Buera, F. J., Lasry, J. M., Lions, P. L., & Moll, B. (2014). Partial differential equation models in macroeconomics. Philosophical transactions. Series A, Mathematical, physical, and engineering sciences, 372(2028).

 

作者试图告诉各位：传统的宏观经济学理论主要是利用大量的差分方程或者是微分方程来研究经济问题，而用这些方程来描述常见的总量变量的时间演化。而这些方程也无非就是构建一个有“代表性的个体”然后再建立一个优化控制问题，总之都是基于拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型(Ramsey-Cass-Koopmans)套路，寻找个体的最优行为。在过去30年里，经济学家发展了大量的基于异质性个体的均衡模型。常见的异质个体包括：异质性消费者、异质性企业、异质性工人等。

 

发展这些理论的同时引出了其他更重要的问题：为何收入和财富如此的不平均分布？不平等如何受制于总量经济条件？当发展经济和处理不平等时是否有一个利弊权衡？是什么力量致使经济行为最终收缩于若干超级大企业？为何金融系统的不稳定性对于宏观经济如此重要？

 

一般而言，异质性个体的建模都是基于离散时间，但是其实采用连续时间系统，更适合计算。作者们都是些数学大牛，其中一个还是个“大神“级别的，我们后面会介绍，所以作者既然给了这样的论断，在数学理论层面，各位可无需多argue，可安心使用他们给出的结论，毕竟这帮作者数学功底实在太好。作者希望告诉读者们，异质性模型更适用连续时间函数来描述，此外，异质性问题更适合用偏微分方程来描述。在宏观经济学中，常用的偏微分方程系统主要有：

 

1、汉密尔顿-雅各比-贝尔曼（HJB）方程，该方程是控制论的“内核“，该方程主要是用来描述个体的最优控制（或行为）问题【注：在控制论中，“control(控制)”和“action(行为，或翻译为行动)”是一个概念，这样的概念还被机器学习理论的强化学习理论所采用】；

 

2、Fokker-Planck方程、Fischer-KPP方程或玻尔兹曼方程，这类方程主要是用来描述在总体中，单一状态变量的分布(比如：概率密度函数)如何随时间的变化。

 

作者在第二部分主要讨论了如何用偏微分方程组研究收入与财富分布问题。第三部分讨论了如何用偏微分方程组研究幂律与宏观经济问题，比如企业的进入、退出以及企业规模的分布问题。第四部分讨论了如何用偏微分方程组研究知识发散和增长问题。第五部分讨论了如何用偏微分方程组研究总量冲击下的商业周期问题。前面几部分的讨论，都基于个体数量非常大，但第六部分专门讨论了有限数量个体情形（主要指：少数由大企业控制的市场），当然作者也坦然，偏微分方程在宏观经济的应用，还有很多开放问题值得深入研究。

 

最后，我们介绍一下该文的作者，该文的第四作者：Pierre-Louis Lions（皮埃尔-路易·利翁）是一个数学大神，他在1994年获得菲尔兹奖，当时他38岁。

 

菲尔兹奖被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁奖一次，颁给有卓越贡献的年轻数学家，每次最多四人得奖，得奖者须在该年元旦前未满四十岁。

 

皮埃尔-路易·利翁，1956年8月11日出身，是一个狮子座男（传说他是个很高傲的男人），法国数学家。其主要研究领域是非线性偏微分方程，因其在巴黎第九大学的工作而获得菲尔兹奖。利翁是首位给出玻尔兹曼方程的解并证明了的人。目前，利翁任职于法兰西公学院教授偏微分方程及应用，在巴黎综合理工学院任职。此外，在他1983年与Michael G. Crandall合著的论文“汉密尔顿-雅各比方程的粘性解”中所引入的粘性解概念，对于偏微分方程的理论产生了重大影响。还需要注意的是，利翁的父亲也是位著名的数学家，其研究领域也是随机最优控制和偏微分方程，所以真是“虎父无犬子”，当然也可以看出利翁是实实在在的学术世家出身。利翁的父亲是大名鼎鼎的法国数学家贾各路易·里翁（Jacques-Louis Lions）。当然，现在非常火的号称数学界的“Lady Gaga“的赛德里克·维拉尼（Cédric Villani）也是他的学生。赛德里克·维拉尼在2010年获得了菲尔兹奖。赛德里克·维拉尼写了本自传体书籍《一个定理的诞生》，有时间的朋友可以看看，非常有趣。

 

Abstract

 

Mathematical models based on partial differential equations (PDEs) have become an integral part of quantitative analysis in most branches of science and engineering, recently expanding also towards biomedicine and socio-economic sciences. The application of PDEs in the latter is a promising field, but widely quite open and leading to a variety of novel mathematical challenges. In this introductory article of the Theme Issue, we will provide an overview of the field and its recent boosting topics. Moreover, we will put the contributions to the Theme Issue in an appropriate perspective.