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知识增长与时间分配

推文人 | 余颖丰(首都经济贸易大学金融学院副教授)
 
原文信息
 
Benjamin Moll, Robert E.Lucas,Jr. Knowledge growth and the allocation of time, Journal of Political Economy,Vol.122,No.1 2014.pp. 1-51.
 
Abstract
 
Individuals' time allocation decisions depend on the distribution because the productivity levels of others determine their own chances of improving their productivities through search. The time allocations of everyone in the economy in turn determine the evolution of its productivity distribution. We construct the balanced growth path for this economy, thereby obtaining a theory of endogenous growth that captures in a tractable way the social nature of knowledge creation. We report numerical experiments that describe how the level and rate of growth of productivity along the balanced growth path vary with changes in taxes and other parameters.
 
一、简介
 
常识告诉我们其实每个个体的知识水平都不会相同,每个个体的知识水平决定了其个人的产出,而个体又都是有学习的心态的,都试图学习并提高自己的技能,而为何要提“高”,“高”与“低”是一个相对的概念,所以所谓“提高”,其实是需要参照物,而这个参照物其实是个体所处的群体(即社会,或者在本文中就是某经济体)的整体水平,所以个体其实是和群体(即个体对所有其他个体)进行博弈,个体如果发现自己离群体的均值水平有差异,则会不断改进自己。而群体的均值水平又是由千万个个体的学习行为所共同决定的。而现存的经济增长理论,不管是内生还是外生经济增长理论,都忽视了千千万万个可忽略的个体的努力(对经济体的影响)和社会与经济整体环境(对每个可忽略不计的个体)的影响,以及也忽视了对诸如经济整体环境形成机制的探讨。而本文作者做了这样的理论研究。
 
作者基本的建模思想如下:个体在经济体中是将自己的时间分为两种活动,即利用自己已有的知识生产产品,同时还和其他人互动(主要靠搜索),个体学习新的思想,这些新思想能提高个体生产水平。所有个体如果都如此行动,会共同的决定整个经济体现有的生产力水平,以及经济体的学习率和真实经济增长。简而言之,每个个体假如每年贡献一单位的劳动力,他的时间花在提升自己知识的时间为s(z,t),而他花在工作的时间为(1-s(z,t)),每个个体的生产率为z,且该变量为一随机变量,其密度函数用f(z,t)表示,而累积函数用F(z,t)表示。则每个个体的产出用[1-s(z,t)]z表示。
 
本文仅考虑生产函数包含劳动,模型也不考虑市场、价格和私人物权问题,仅考虑个体的知识,也就是他们的人力资本问题。为何要做如此多的简化处理,因为本文的建模其实非常难,而且复杂。难在何处,主要难在如何把群体和个体的博弈关系捋清楚。
 
二、理论建模的难点
 
本文是一种全新理论建模视角下的经济增长模型,属于异质性模型,个体是试图最优分配时间,是在生成产品和学习新思想两个经济行为间进行分配时间,每个个体的生成率都不同,但是满足某一特定分布(注:该分布又是由大量个体所决定了,为了有解,所以会不言自明的假设其为一稳定分布),个体的最优控制问题是利用Bellman(贝尔曼)方程的动态规则来刻画的,如果是连续型问题,可以考虑利用HJB方程来刻画。而经济体的运行规则是利用物理学上的著名方程Boltzmann(玻尔兹曼)方程来刻画,但是需要注意的是,经济体(也就是群体)的运行规则是由不同个体的共同行为所决定的。两个方程(即贝尔曼方程和玻尔兹曼)能够同时有解,还需要假若干重要的假设,否则将变成先有蛋还是先有鸡的问题,即是个体先影响群体,还是群体先影响个体行为。 为了有解,本文给出了均衡增长路径(Balanced Growth Path,BGP)条件,简而言之,需要假设经济体满足增长率常数和稳定的Lorenz曲线(和群体的收入有关,群体的收入分布该是稳定的)。
 
三、文章的基本结构
 
本文花了很长的时间介绍如何建模,如何使得贝尔曼方程和玻尔兹曼方程有解,而且有经济学含义。模型有了整体框架后,理论的结果十分明显,即个体的最优行为,也就是最优控制函数,是满足“去中心化(decentralized)”形式,其潜台词就是:群体对个体的影响确实有,但是个体的主观能动性却十分重要。然后作者多模型进行了扩展,考虑有中央计划者存在的情形,中央计划者能分配个体的时间,但是结论还是和基本模型结果一致,社会大环境影响个体,但是个体的主观能动性还是起主要作用(即:个体的最优控制变量,也就是“时间”,主要关于个体所对应的自身的状态变量所决定的)。作者还考虑了税收的问题。最后作者还分别讨论了三种不同的个体之间的学习机制:一、外生技术冲击;二、有限学习;三、对称见面机制(注:前文假设个体与个体见面机制是非对称的)。
 
四、扩展阅读
 
本文的思想其实可以归纳为“平均场博弈理论”(Mean Filed Game,MFG),作者在本文第9页也提到了本文模型是MFG。根据wiki百科的介绍,该理论是由加拿大学者Peter Caines、Mingyi Huang等人以及法国学者Jean-Michel Lasry and Pierre-Louis Lions分别于2006年前后独立创立。MFG是一种非合作博弈,它和传统的博弈论有明显的不同,传统的博弈论一般考虑两个博弈者,最多考虑三个博弈者,当博弈者数量增加到5个或者7个,在这种个体数量规模下讨论个体与个体间的博弈问题,几乎成为不可能完成的任务。但是基于von Neumann和Morgenstern 1944年的伟大思想指引:研究少数有限个个体几乎是不可能,但是当个体数量趋近于无穷大时,困难却骤然减少,甚至反而是利用极度简单的传统方法就可以解决。所以,研究个体与由其他大量的个体形成的群体效应间的互动博弈效益的问题,又反而成为可能。以下是当年的von Neumann(冯.诺伊曼)和Morgenstern原文的伟大论述:
 
“..When the number of participants becomes really great, some hope emerges that the influence of every particular participant will become negligible, and that the above difficulties may recede and a more conventional theory becomes possible.”
“..in all fairness to the traditional point of view this much ought to be said: it is a well known phenomenon in many branches of the exact and physical sciences that every great numbers are often easier to handle than those of medium size. An almost exact theory of a gas, containing about 10^25 freely moving particles, is incomparably easier than that of the solar system, made up of 9 major bodies… This is, of course, due to the excellent possibility of applying the laws of statistics and probability in the first case.”
 
此外,最后想提一下玻尔兹曼,他是一位伟大的物理奇才,经济学学者可能对其人不太熟悉。此外,如今“玻尔兹”无处不在。最近特别火的人工智能—深度学习理论里面也可以看到玻尔兹曼的“身影”---受限玻尔兹曼机(restricted Boltzmann machine, RBM)。MFG理论的创立人之一Pierre-Louis Lions也和玻尔兹曼“有联系”,根据wiki百科的说明,Lions是最早完全解出玻尔兹曼方程并给出证明的数学家,Lions提出了黏性解的概念,因为其在非线性偏微分领域有突出贡献,而获得了1994年Fields Model(菲尔兹奖)。最后,感谢Mingyi Huang教授最近在首都经济贸易大学金融学院做的非常精彩的关于MFG理论的讲座。
 
最后的最后,让我们怀念一下那些留给我们深邃思想的伟大而值得尊敬的人。人的肉身都终将被时间无情洗刷,最终消退,但是思想,伟大的思想却可以洞彻宇宙,穿越时空。
 
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